Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Nền tảng vững chắc cho môn Toán

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 của giaitoan.edu.vn. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán học lớp 11, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn trong tương lai.

Chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức về dãy số, bao gồm định nghĩa, các loại dãy số đặc biệt, tính chất và ứng dụng của chúng. Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề và tự tin giải quyết các bài tập liên quan.

1. Dãy số

1. Dãy số

Dãy số vô hạn

- Một hàm số\(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu là \(u\left( n \right) = {u_n}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Một hàm số \(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

*Nhận xét:

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.

- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\). Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\) là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

2. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán. Bộ bài tập toán trung học phổ thông được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Trong chương trình Toán 11, học sinh sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản về dãy số, bao gồm:

Số hạng của dãy số: Mỗi phần tử trong dãy số được gọi là một số hạng.
Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn: Dãy số hữu hạn có số lượng số hạng xác định, trong khi dãy số vô hạn có số lượng số hạng không xác định.
Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi: Dãy số được gọi là tăng nếu mỗi số hạng lớn hơn số hạng đứng trước nó, giảm nếu mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng đứng trước nó, và không đổi nếu tất cả các số hạng bằng nhau.

Các loại dãy số đặc biệt

Ngoài các khái niệm cơ bản, SGK Toán 11 còn giới thiệu một số loại dãy số đặc biệt quan trọng:

1. Dãy số cấp số cộng

Dãy số cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước nó. Công thức tổng quát của dãy số cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của dãy.
u₁ là số hạng đầu tiên của dãy.
d là công sai của dãy.

2. Dãy số cấp số nhân

Dãy số cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước nó với một số không đổi (tỉ số). Công thức tổng quát của dãy số cấp số nhân là:

u_n = u₁ * q^{(n - 1)}

Trong đó:

u_n là số hạng thứ n của dãy.
u₁ là số hạng đầu tiên của dãy.
q là tỉ số của dãy.

Giới hạn của dãy số

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết dãy số là giới hạn của dãy số. Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng.

Để xác định giới hạn của dãy số, ta cần xét các trường hợp sau:

Dãy số hội tụ: Nếu giới hạn của dãy số là một số thực hữu hạn, dãy số được gọi là hội tụ.
Dãy số phân kỳ: Nếu giới hạn của dãy số là vô cùng hoặc không tồn tại, dãy số được gọi là phân kỳ.

Ứng dụng của lý thuyết dãy số

Lý thuyết dãy số có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính lãi kép: Dãy số cấp số nhân được sử dụng để tính lãi kép trong ngân hàng và tài chính.
Mô tả sự tăng trưởng dân số: Dãy số có thể được sử dụng để mô tả sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
Giải các bài toán vật lý: Dãy số được sử dụng để giải các bài toán về chuyển động, dao động và các hiện tượng vật lý khác.

Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về lý thuyết dãy số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm số hạng thứ 10 của dãy số cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 2 và công sai là 3.
Tìm số hạng thứ 5 của dãy số cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 và tỉ số là 2.
Tính giới hạn của dãy số u_n = 1/n khi n tiến tới vô cùng.

Kết luận

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 là một phần quan trọng của chương trình Toán học lớp 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hy vọng rằng với những kiến thức được cung cấp trong bài viết này, bạn sẽ có một nền tảng vững chắc để học tập và phát triển trong môn Toán.