Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc tính tích phân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân cơ bản.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(MN//AB\)
+ Góc giữa \(\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)\)
+ Tính các cạnh \(MN,ND,MD\)
+ Tính \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác
\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)
Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)
Bài 8.1 yêu cầu tính các tích phân sau:
1. ∫(x^2 + 1) dx
Áp dụng công thức ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, ta có:
∫(x^2 + 1) dx = ∫x^2 dx + ∫1 dx = (x^3)/3 + x + C
2. ∫(sin(x) + cos(x)) dx
Áp dụng công thức ∫sin(x) dx = -cos(x) + C và ∫cos(x) dx = sin(x) + C, ta có:
∫(sin(x) + cos(x)) dx = ∫sin(x) dx + ∫cos(x) dx = -cos(x) + sin(x) + C
3. ∫(e^x + 2x) dx
Áp dụng công thức ∫e^x dx = e^x + C và ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, ta có:
∫(e^x + 2x) dx = ∫e^x dx + 2∫x dx = e^x + 2(x^2)/2 + C = e^x + x^2 + C
4. ∫(1/x) dx
Áp dụng công thức ∫(1/x) dx = ln|x| + C, ta có:
∫(1/x) dx = ln|x| + C
Để củng cố kiến thức về tích phân, bạn có thể thử giải các bài tập sau:
Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập cơ bản về tích phân. Việc nắm vững các công thức nguyên hàm và phương pháp tính tích phân sẽ giúp bạn giải quyết bài tập này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
