Bài 3.14 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Hàm số lượng giác và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để tìm nghiệm của phương trình.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tìm các giới hạn sau:
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}}\)
b) \(\lim \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}}\)
c) \(\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}}\)
d) \(\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn nhất
Sử dụng các công thức sau \(\lim \frac{1}{n} = 0;\,\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k\) là số nguyên dương; \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\)
Lời giải chi tiết
a) \(\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}} = \lim \frac{{6 + \frac{3}{n}}}{{4 - \frac{1}{n}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
b) Nhận thấy tử và mẫu số lũy thừa cao nhất là \({n^5}\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({n^5}\) ta được
\({u_n} = \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)\left( {\frac{{2{n^3} - 2n + 1}}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right){{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}\)
Khi đó \(\lim {u_n} = \frac{{1.2}}{{{{1.1}^2}}} = 2\)
c) Chia cả tử và mẫu cho \(n\) ta được
\(\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{n}}}{{\frac{{2n - 1}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {8 + \frac{9}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2 \)
d) Vì \({6^n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}\) nên ta chia cả tử và mẫu cho \({6^n}\) ta được
\(\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{6}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0\)
Bài 3.14 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
Phương trình sin(x - π/6) = -√3/2 tương đương với:
x - π/6 = -π/3 + k2π hoặc x - π/6 = π + π/3 + k2π (k ∈ Z)
Giải hai phương trình trên, ta được:
Phương trình cos(2x + π/3) = 0 tương đương với:
2x + π/3 = π/2 + kπ (k ∈ Z)
Giải phương trình trên, ta được:
x = π/4 + kπ/2
Phương trình tan(x + π/4) = 1 tương đương với:
x + π/4 = π/4 + kπ (k ∈ Z)
Giải phương trình trên, ta được:
x = kπ
Phương trình cot(3x - π/2) = -1 tương đương với:
3x - π/2 = -π/4 + kπ (k ∈ Z)
Giải phương trình trên, ta được:
x = π/12 + kπ/3
Phương trình lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về phương trình lượng giác, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 3.14 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.
