Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức giới hạn lượng giác cơ bản và các kỹ năng biến đổi đại số để tìm ra kết quả chính xác.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính các giá trị lượng giác của góc (alpha ) trong các trường hợp sau:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong các trường hợp sau:
a) \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\), với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).
b) \(\tan \alpha = \frac{5}{{12}}\), với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ I. Do đó \(\sin \alpha > 0\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 2 ,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
b) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}}\end{array}\)
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) thuộc phần tư thứ III. Do đó \(\cos \alpha < 0\)
\( \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}\)
\( \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu tính các giới hạn sau:
Để tính giới hạn này, ta sử dụng công thức limu→0 (sin u) / u = 1. Đặt u = 2x, khi x → 0 thì u → 0. Vậy:
limx→0 (sin 2x) / x = limx→0 2 * (sin 2x) / (2x) = 2 * limu→0 (sin u) / u = 2 * 1 = 2
Ta biết rằng tan x = sin x / cos x. Do đó:
limx→0 (tan x) / x = limx→0 (sin x) / (x * cos x) = limx→0 (sin x / x) * limx→0 (1 / cos x) = 1 * (1 / 1) = 1
Đặt t = x - π/4, khi x → π/4 thì t → 0. Vậy x = t + π/4. Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:
limx→π/4 (1 - cos x) / (x - π/4) = limt→0 (1 - cos(t + π/4)) / t
Sử dụng công thức cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b, ta có:
cos(t + π/4) = cos t cos(π/4) - sin t sin(π/4) = (√2 / 2)cos t - (√2 / 2)sin t
Vậy:
limt→0 (1 - cos(t + π/4)) / t = limt→0 (1 - (√2 / 2)cos t + (√2 / 2)sin t) / t = limt→0 (1 - √2 / 2) / t + limt→0 (√2 / 2)sin t / t
Vì limt→0 (1 - √2 / 2) / t không tồn tại, nên ta cần sử dụng quy tắc L'Hopital. Đạo hàm tử và mẫu theo x:
limx→π/4 (1 - cos x) / (x - π/4) = limx→π/4 sin x / 1 = sin(π/4) = √2 / 2
Ta sử dụng công thức lượng giác: 1 - cos x = 2sin2(x/2). Vậy:
limx→0 (1 - cos x) / x2 = limx→0 (2sin2(x/2)) / x2 = 2 * limx→0 (sin(x/2) / x)2 = 2 * limx→0 (sin(x/2) / (2 * (x/2)))2 = 2 * (1/2)2 = 2 * (1/4) = 1/2
Vậy, kết quả của các giới hạn là:
Giới hạn lượng giác có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, bao gồm:
Để nắm vững kiến thức về giới hạn lượng giác, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. giaitoan.edu.vn cung cấp nhiều bài tập luyện tập và lời giải chi tiết để giúp bạn học tập hiệu quả.
