Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 của giaitoan.edu.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 31, 32 SGK Toán 11 tập 1. Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ kiến thức, nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và đầy đủ.
Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không?
Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không?
a) \({x^2} - x = 0\) và \(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\).
b) \({x^2} - 1 = 0\) và \(1 - x = 0\).
Phương pháp giải:
Giải phương trình và so sánh hai tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a)
\({x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
\(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\) (ĐK: \(x \ne 4\))
\( \Leftrightarrow \frac{{3x + x\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} = 0 \Leftrightarrow 3x + {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,({\rm{TM)}}\\x = 1\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\)
Vậy hai phương trình này có tập nghiệm bằng nhau là \(\left\{ {0;1} \right\}\).
b)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\\1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của hai phương trình này không bằng nhau.
Các cặp phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
a) \({x^2} = 4\) và \(\left| x \right| = 2\).
b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) và \(3 - x = 0\).
Phương pháp giải:
Giải phương trình và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{x^2} = 4 \Leftrightarrow x \pm 2\\\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow x = \pm 2\end{array}\)
Vậy hai phương trình trên tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).
b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) (ĐK: \(x \ge 4\))
\(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 + \sqrt {x - 4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sqrt {x - 4} = - 1\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)
\(3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy hai phương trình trên không tương đương vì chúng không có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi sau có đúng không? Vì sao?
\(x - \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = 2\)
Phương pháp giải:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của một phương trình thì phép biến đổi đó đúng: cộng trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
Lời giải chi tiết:
Phép biến đổi sau đúng vì ta cộng hai vế với cùng một biểu thức \(\frac{1}{{x - 2}}\) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
Mục 1 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào các kiến thức cơ bản về dãy số, giới hạn dãy số và các ứng dụng của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo. Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 31, 32:
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại dãy số (dãy số cộng, dãy số nhân, dãy số Fibonacci,...) để tìm công thức tổng quát của số hạng thứ n. Để giải bài tập này, cần xác định được quy luật của dãy số và sử dụng các công thức phù hợp.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính giới hạn của dãy số khi n tiến tới vô cùng. Để giải bài tập này, cần sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số và các kỹ năng biến đổi đại số.
Bài tập này thường liên quan đến các bài toán thực tế, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về dãy số và giới hạn dãy số để giải quyết. Ví dụ, bài toán tính lãi kép, bài toán tính diện tích hình chữ nhật lồng nhau,...
Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền?
Giải: Gọi An là số tiền người đó nhận được sau n năm. Ta có A0 = 10 triệu đồng. Lãi suất hàng năm là 6%, tức là q = 1 + 0.06 = 1.06. Vậy An = A0 * qn. Sau 5 năm, người đó nhận được A5 = 10 * (1.06)5 ≈ 13.382.256 đồng.
Lưu ý: Khi giải các bài tập về dãy số và giới hạn dãy số, cần chú ý đến điều kiện của các định lý và công thức. Đồng thời, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác như sách bài tập, đề thi thử,... để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Chúc các em học tốt!
Để hiểu sâu hơn về các khái niệm và phương pháp giải, các em nên tự mình làm thêm nhiều bài tập khác nhau. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để tìm hiểu thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
| Dãy số | Công thức tổng quát |
|---|---|
| Dãy số cộng | un = u1 + (n-1)d |
| Dãy số nhân | un = u1 * q(n-1) |
