Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác các bài tập trong sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao.
Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao, giúp các bạn học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học của các bạn.
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Đề bài
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a. Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành một trong ba tam giác còn lại.
b. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?
c. Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp.
Lời giải chi tiết
a. Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến tam giác APN thành tam giác PBM.
Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AN} }}\) biến tam giác APN thành tam giác NMC. Phép đối xứng tâm ĐJ, với J là trung điểm của PN, biến tam giác APN thành tam giác MNP.
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GM} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GP} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} .\)
Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số \(k = - {1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
c. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là trực tâm của tam giác APN, PBM, NMC.
Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến APN thành tam giác PBM nên biến H1 thành H2, tức là \(\overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \overrightarrow {AP} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {P{H_2}} .\) Tương tự ta có \(\overrightarrow {{H_1}{H_3}} = \overrightarrow {AN} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {N{H_3}} .\)
Vậy \(\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {P{H_2}} = \overrightarrow {N{H_3}} .\) Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {A{H_1}} \) biến tam giác APN thành tam giác H1H2H3.
Đối với các trường hợp khác (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp), chứng minh hoàn toàn tương tự.
Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức, định lý đã học để chứng minh đẳng thức vectơ, tìm tọa độ điểm, hoặc xác định mối quan hệ giữa các vectơ.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức cơ bản:
Để giải quyết hiệu quả Câu 1 trang 124, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về các điểm, vectơ trong không gian và yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc tìm một đại lượng nào đó.
(Giả sử đề bài là: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (1/2)overrightarrow{BD} + (1/2)overrightarrow{CD} +overrightarrow{AA'})
Chọn hệ tọa độ Oxyz với A là gốc tọa độ và các vectơ overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD}, overrightarrow{AA'} làm các vectơ cơ sở. Khi đó, ta có thể biểu diễn các vectơ overrightarrow{AM}, overrightarrow{BD}, overrightarrow{CD} qua các vectơ cơ sở này.
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân vectơ để biến đổi vế phải của đẳng thức thành vế trái. Ví dụ, ta có thể sử dụng quy tắc trung điểm để biểu diễn overrightarrow{AM} qua overrightarrow{AB} và overrightarrow{AC}.
Sau khi biến đổi, nếu vế trái và vế phải của đẳng thức bằng nhau, ta kết luận đẳng thức được chứng minh.
Ngoài Câu 1 trang 124, SGK Hình học 11 Nâng cao còn nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về vectơ. Một số dạng bài tập thường gặp:
Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, luyện tập thường xuyên và áp dụng linh hoạt các công thức, định lý đã học.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ tự tin giải quyết Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tập tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| overrightarrow{a} +overrightarrow{b} | Quy tắc hình bình hành |
| koverrightarrow{a} | Phép nhân vectơ với một số thực |
| overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}||overrightarrow{b}|cos(theta) | Tích vô hướng |
