Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :
y = sin2x - 2cosx
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\) \( = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\)
\(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)
Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin x = 1} \cr {\sin x = -{1 \over 2}} \cr } } \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)
y = 3sin2x + 4cos2x + 10x
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\)
Vậy \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10 = 0 \) \(\Leftrightarrow 3\cos 2x - 4\sin 2x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\)
\( \Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over 5}\)
Thay vào (1), ta được :
\(\eqalign{ & \sin 2x\cos \alpha - \sin\alpha \cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha + {\pi \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
\(y = {\cos ^2}x + \sin x\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + cosx \) \(= cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\)
\(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { \cos x = 0 } \cr {1 - 2\sin x = 0 } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k\pi} \cr {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi } \cr } } \right. } \cr } } \right. \cr} \)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over 6} + k2\pi ;\) \(x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
\(y = \tan x + \cot x\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi \over 2} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\cr &\Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 4} + k\pi \cr &k \in \mathbb Z \cr} \)
Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.
Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Đề bài thường cho một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện các bước khảo sát hàm số.
(Giả sử hàm số được cho là y = x^3 - 3x^2 + 2)
3x^2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
y'' = 6x - 6
Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, y(0) = 2
Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y(2) = -2
y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
y' < 0 khi 0 < x < 2, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Khi giải các bài tập khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, bạn sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
