Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải chi tiết Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định chính xác yêu cầu của đề bài là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.

Các bước giải chi tiết

1. Tính đạo hàm cấp một (y'): Đây là bước đầu tiên để xác định các điểm cực trị của hàm số. Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
2. Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0.
3. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp một để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Nếu y' > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu y' < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
4. Tìm cực đại, cực tiểu: Sử dụng đạo hàm cấp hai (y'') để xác định cực đại và cực tiểu của hàm số. Nếu y'' < 0 tại một điểm cực trị, điểm đó là điểm cực đại. Nếu y'' > 0 tại một điểm cực trị, điểm đó là điểm cực tiểu.
5. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số giúp ta hình dung rõ hơn về tính chất của hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cho là y = x³ - 3x² + 2. Ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:

• Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x
• Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu của y' trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), và (2, +∞). Ta thấy y' > 0 trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), do đó hàm số đồng biến trên các khoảng này. y' < 0 trên khoảng (0, 2), do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
• Tìm cực đại, cực tiểu: Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, do đó x = 0 là điểm cực đại. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu.

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm không xác định của hàm số, chẳng hạn như các điểm mà tại đó mẫu số bằng 0. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ứng dụng của việc giải Câu 44 trang 219

Việc nắm vững phương pháp giải Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi quan trọng. Kỹ năng này cũng rất hữu ích trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, nơi mà việc phân tích và dự đoán sự thay đổi của các hàm số là rất quan trọng.

Tài liệu tham khảo thêm

Để hiểu sâu hơn về các kiến thức liên quan đến khảo sát hàm số, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

• Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
• Các bài giảng trực tuyến về khảo sát hàm số
• Các bài tập luyện tập về khảo sát hàm số

Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin giải quyết Câu 44 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao một cách hiệu quả.