Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao một cách dễ hiểu nhất.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp tối ưu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ
b. G1 là trọng tâm của tam giác A1B1C1
c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)
\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’
Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’
Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành
Do đó, GG’ song song và bằng AA’
b. B1C1 cắt II’ tại I1 thì I1 là trung điểm của B1C1
Vì G1 thuộc A1I1 và AA1 // GG1 // II1 nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)
Vậy G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1
c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L1 là giao điểm của LL’ và A1I1
Khi đó L1 là trung điểm của A1G1
Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :
\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\)
Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)
Mặt khác: 2I1I’ = B1B’ + C1C’
Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)
Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Trước khi bắt tay vào giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tính toán một biểu thức liên quan đến vectơ, chứng minh một đẳng thức vectơ, hoặc tìm một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó. Việc phân tích đề bài giúp bạn lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tránh những sai sót không đáng có.
Dưới đây là một số phương pháp giải thường được sử dụng để giải Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao:
Giả sử đề bài yêu cầu tính độ dài của vectơ a + b, biết rằng vectơ a có tọa độ (1; 2; 3) và vectơ b có tọa độ (-2; 1; 0).
Giải:
Vậy độ dài của vectơ a + b là √19.
Khi giải các bài tập về vectơ, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về vectơ. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, phương pháp giải chi tiết và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Hình học.
