Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, tập xác định và tập giá trị để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng
Đề bài
Cho các hàm số \(f(x) = \sin x,\) \( g(x) = \cos x,\) \( h(x) = \tan x\) và các khoảng
\({J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right);{J_2} = \left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right);\) \({J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right);{J_4} = \left( { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)\)
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \(J_1\) ? Trên khoảng \(J_2\) ? Trên khoảng \(J_3\) ? Trên khoảng \(J_4\) ? (Trả lời bằng cách lập bảng).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lí thuyết:
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\)
Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
+) \({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \({J_1}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_1}\).
\({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\pi ;2\pi } \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \({J_1}\)
+) \({J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \({J_2}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_2}\).
\({J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \left( { - \frac{\pi }{4};0} \right) \cup \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) chỉ đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) không đồng biến trên \({J_2}\)
+) \({J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right)\) \( = \left( {8\pi - \frac{\pi }{4};8\pi + \frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \({J_3}\), hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên \({J_3}\), hàm số \(y = \cos x\) không đồng biến trên \({J_3}\)
+) \({J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right)\) \( = \left( { - 150\pi - \frac{{2\pi }}{3}; - 150\pi - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\) không đồng biến trên \({J_4}\), hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên \({J_4}\)
Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :
Hàm số | J1 | J2 | J3 | J4 |
\(f(x) = \sin x\) | 0 | + | + | 0 |
\(g(x) = \cos x\) | + | 0 | 0 | + |
\(h(x) = \tan x\) | + | + | + | 0 |
Bài tập Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, tập trung vào việc củng cố kiến thức về hàm số, đặc biệt là các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, và cách xác định hàm số thông qua các điều kiện cho trước. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương trình toán học nâng cao hơn.
Bài tập thường yêu cầu học sinh:
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
Bài toán: Cho hàm số f(x) = √(x-2). Hãy xác định tập xác định của hàm số.
Lời giải:
Hàm số f(x) = √(x-2) xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là:
x - 2 ≥ 0
⇔ x ≥ 2
Vậy, tập xác định của hàm số f(x) là D = [2, +∞).
Ngoài việc xác định tập xác định và tập giá trị, học sinh còn có thể gặp các dạng bài tập sau:
Để đạt kết quả tốt nhất, học sinh nên:
Học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau để học tốt hơn về hàm số:
Câu 4 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số. Bằng cách nắm vững các khái niệm, phương pháp giải, và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
