Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n=k+1 hay \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{2\left( {k + 1} \right) + 1}} + 1}}{3}\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 \cr &= {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1
(un) là môt dãy số tăng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)
⇒ (un) là dãy số tăng.
Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:
Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là y' = 3x2 - 6x.
Đạo hàm bậc hai của hàm số là y'' = 6x - 6.
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Ta xét dấu của y'' tại các điểm cực trị:
Ta xét dấu của y':
Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2).
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc các bạn học tập tốt!
