Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Hãy chứng minh
Đề bài
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có : \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\)
Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k > 2\), tức là giả sử
\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\)
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)
Thật vậy , ta có:
\(\eqalign{& {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \)
(theo giả thiết quy nạp)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên \(n > 1\).
Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Trước khi bắt đầu giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu xét tính đơn điệu của một hàm số trên một khoảng cho trước. Việc xác định đúng khoảng xét dấu đạo hàm là rất quan trọng.
Để giải Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Hãy xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (-∞, +∞).
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!
