Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm, cực trị của hàm số để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng hàm số
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) có đạo hàm bằng 0.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{ & y = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;+ 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x \cr & = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1 \cr & \Rightarrow y' = 0 \cr} \)
Câu 30 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và điểm uốn của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số và yêu cầu tìm các yếu tố như:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu của y':
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai
y'' = 6x - 6
Bước 4: Tìm điểm uốn
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
Xét dấu của y'':
Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm sau:
Câu 30 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
