Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đồ thị hàm số và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Giải các phương trình sau :
\(3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1 : (chia hai vế cho \({\cos ^2}x\)).
Ta có:
\(\begin{array}{l}3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0\end{array}\)
Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào phương trình ra được:
\(3.1 - 2.0 - 0 = 0\) (vô lí)
Do đó \(\cos x\ne 0\), chia cả hai vế cho \(\cos ^2x\ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \frac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2.\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\ \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{3}} \right) + k\pi\).
Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)
\(\eqalign{& 3{\sin ^2}x - \sin 2x - {\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} - \sin 2x - {{1 + \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - 3\cos 2x - 2\sin 2x - 1 - \cos 2x = 0\cr& \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\cos 2x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\sin 2x + {2 \over {\sqrt 5 }}\cos 2x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \text{Chọn }\,\alpha \,\text{ là số thỏa mãn }\cr&\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\,\text{ và }\,\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\cr&\text{ Ta có }: \cr & \sin \alpha \sin 2x + \cos \alpha \cos 2x = \sin \alpha \cr&\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = \pm \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k2\pi \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)
\(3{\sin ^2}2x - \sin 2x\cos 2x - 4{\cos ^2}2x = 2\)
Lời giải chi tiết:
Xét \(\cos 2x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}2x = 1\) thay vào pt ta được:
\(3.1 - 0 - 4.0 = 2\) (vô lí)
Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}2x \ne 0\) ta được:
\(3.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - \frac{{\sin 2x\cos 2x}}{{{{\cos }^2}2x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}}\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}2x - \tan 2x - 4 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}2x - \tan 2x - 6 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan 2x = - 2} \cr {\tan 2x = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\beta \over 2} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.\cr&\text{trong đó }\tan 2\alpha = - 2\,\text{và}\,\tan 2\beta = 3 \cr} \)
\(2{\sin ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\cos ^2}x = - 1\)
Lời giải chi tiết:
Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) thay vào pt ta được:
\(2.1 + \left( {3 + \sqrt 3 } \right).0 + \left( {\sqrt 3 - 1} \right).0 = - 1\) (vô lí)
Do đó chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:
\(2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\frac{{\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\eqalign{&\Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 - 1 = - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {{\sqrt 3 } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, lớp 11. Bài toán này thường kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai, đặc biệt là việc xác định các yếu tố của parabol (đỉnh, trục đối xứng, điểm cắt trục hoành, điểm cắt trục tung) và sử dụng các tính chất của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Thông thường, câu 41 trang 47 sẽ yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
Để giải quyết hiệu quả câu 41 trang 47, học sinh cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:
Bài toán: Xác định phương trình của parabol có đỉnh I(1, -2) và đi qua điểm A(3, 2).
Lời giải:
Phương trình của parabol có dạng y = a(x - h)2 + k, với (h, k) là tọa độ đỉnh. Thay tọa độ đỉnh I(1, -2) vào phương trình, ta được: y = a(x - 1)2 - 2.
Vì parabol đi qua điểm A(3, 2), ta thay tọa độ điểm A vào phương trình để tìm a: 2 = a(3 - 1)2 - 2 => 2 = 4a - 2 => 4a = 4 => a = 1.
Vậy phương trình của parabol là y = (x - 1)2 - 2, hay y = x2 - 2x - 1.
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai:
Câu 41 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Bằng cách nắm vững các kiến thức và kỹ năng cần thiết, học sinh có thể giải quyết bài toán một cách hiệu quả và tự tin. Giaitoan.edu.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán.
