Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
\({u_n} = {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& \lim {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}} \cr &= \lim {{{n^3}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr & = \lim {{2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \over {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}}} = + \infty \cr & \text{ vì }\,\lim \left( {2 - {1 \over {{n^2}}} - {3 \over {{n^3}}}} \right) = 2\cr &\text{ và }\,\lim \left( {{5 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} \right) = 0;5n - 1 > 0 \cr} \)
\({u_n} = {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}} \cr &= \lim {{{n^2}\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over {{n^2}\left( { - 2 + {3 \over {{n^2}}}} \right)}} \cr & = \lim {{\sqrt {1 - {2 \over {{n^3}}} + {3 \over {{n^4}}}} } \over { - 2 + {3 \over {{n^2}}}}}\cr &= - {1 \over 2} \cr} \)
\({u_n} = - 2{n^2} + 3n - 7\)
Phương pháp giải:
Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim \left( { - 2{n^2} + 3n - 7} \right) \cr &= \lim {n^2}\left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - \infty \cr & \text{vì }\,\lim {n^2} = + \infty \,\text{ và }\cr &\lim \left( { - 2 + {3 \over n} - {7 \over {{n^2}}}} \right) = - 2 < 0 \cr} \)
\({u_n} = \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \cr &= \lim {n^3}.\root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = + \infty \cr & \text{ vì }\,\lim {n^3} = + \infty \cr &\text{ và }\,\lim \root 3 \of {1 + {8 \over {{n^7}}} - {7 \over {{n^9}}}} = 1 > 0 \cr} \)
Câu 55 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Khi giải bài toán khảo sát hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số. Nếu hàm số có tập xác định bị giới hạn, cần xét các điểm không thuộc tập xác định. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hoặc giải các bài toán tối ưu hóa. Nắm vững kiến thức về khảo sát hàm số là nền tảng quan trọng để học tập các môn học liên quan đến toán học và các ngành khoa học kỹ thuật.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.
Câu 55 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và thực hành giải nhiều bài tập, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
