Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
\(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\) \(\displaystyle = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)
\(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \left( {{x^2} + 1} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(\displaystyle = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)' + \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}}\) \( = 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\) \(\displaystyle = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)
\(y = \tan 3x - \cot 3x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {3x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}} - \left( {3x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3x}}\) \(\displaystyle = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)
\(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {1 + 2\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = 2\left( {\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \(\displaystyle = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)
\(y = x\cot x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = x'\cot x + x.\left( {\cot x} \right)'\) \( = \cot x + x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) \(\displaystyle = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\)
Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số.
Thông thường, câu 31 trang 212 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và đạo hàm của lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Ngoài câu 31 trang 212, còn rất nhiều bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Các bài tập này thường tập trung vào các chủ đề sau:
Khi giải các bài toán về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Để học tốt môn Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải và thực hành giải nhiều bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn học.
