Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đồ thị hàm số và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
\(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có :
* \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \) \(\Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)
Vì \(k \in Z\) nên \( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\)
* \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)
Vì \(k \in Z\) nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là :
\(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)
\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)
Lời giải chi tiết:
\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 5 = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\)
Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn.
Xét họ nghiệm thứ nhất :
\(\eqalign{& - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \cr&\Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & \text{Vì }\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k \cr&< {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \)
Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\).
Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\)
Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :
\( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \)
\(\Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}\\ \Rightarrow - 1,2 < k < - 0,2\\ \Rightarrow k = - 1\end{array}\)
Vậy \(k = -1\)
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\)
Vậy : \(x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\)
Câu 16 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị hàm số và xác định các yếu tố của đồ thị. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, bài tập dạng này sẽ yêu cầu:
Giả sử đề bài yêu cầu giải hàm số y = x2 - 4x + 3.
Trong hàm số y = x2 - 4x + 3, ta có:
Tọa độ đỉnh của parabol là:
Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là (2, -1).
Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = xđỉnh = 2.
Để tìm giao điểm của parabol với trục Ox, ta giải phương trình y = 0:
x2 - 4x + 3 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy, parabol cắt trục Ox tại hai điểm (1, 0) và (3, 0).
Để tìm giao điểm của parabol với trục Oy, ta cho x = 0:
y = 02 - 4 * 0 + 3 = 3
Vậy, parabol cắt trục Oy tại điểm (0, 3).
Dựa vào các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3. Đồ thị là một parabol có đỉnh tại (2, -1), trục đối xứng là x = 2, cắt trục Ox tại (1, 0) và (3, 0), cắt trục Oy tại (0, 3).
Để giải quyết các bài tập tương tự một cách chính xác và hiệu quả, bạn nên:
Kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 16 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
