Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đồ thị hàm số và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
\(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\))
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr } \)
trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:
\( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\eqalign{& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr & = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\ \le \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = \left( {\frac{1}{4} + 1} \right).1 = \frac{5}{4}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\ \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\ \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\end{array}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :
\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)
\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr & = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr & = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr & \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\ \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right).1 = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\end{array}\)
Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)
và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( =- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \( = - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)
Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị hàm số và xác định các yếu tố của đồ thị. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp phương trình của hàm số bậc hai và yêu cầu vẽ đồ thị, xác định các yếu tố của đồ thị (đỉnh, trục đối xứng, giao điểm) hoặc tìm các tham số của hàm số dựa trên các điều kiện cho trước.
Để minh họa, giả sử đề bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3 và xác định các yếu tố của đồ thị.
Dựa vào các yếu tố đã xác định, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3. Đồ thị là một parabol có đỉnh tại (2, -1), mở lên trên, cắt trục Oy tại (0, 3) và cắt trục Ox tại (1, 0) và (3, 0).
Ngoài dạng bài tập vẽ đồ thị hàm số, còn có nhiều dạng bài tập liên quan đến hàm số bậc hai mà học sinh cần luyện tập:
Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản, phân tích kỹ đề bài và luyện tập thường xuyên, bạn có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
