Bài tập Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n ≥ 2\), ta luôn có đẳng thức sau :
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
\(\eqalign{& \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)
Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và khả năng ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
Thông thường, bài toán Câu 4 trang 100 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng sau:
Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Xác định tập xác định
Tập xác định của hàm số là D = R (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Xét dấu f'(x):
Bước 5: Kết luận
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
Ngoài bài toán Câu 4 trang 100, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Các bài tập này có thể khác nhau về dạng hàm số (đa thức, phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit) và yêu cầu cụ thể (tìm cực trị, khoảng đơn điệu, điểm uốn, tiệm cận).
Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Để học tập hiệu quả môn Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, học sinh cần:
Hy vọng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với bài toán Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài toán tương tự.
