Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Trong các dãy số dưới đây
Dãy số (un) với un = 8n + 3
Phương pháp giải:
Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\) hoặc thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
Nếu hiệu trên là hằng số thì dãy là CSC.
Nếu thương trên là hằng số thì dãy là CSN.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n}\)
\(= 8\left( {n + 1} \right) + 3 - \left( {8n + 3} \right) \)
\( = 8n + 8 + 3 - 8n - 3\)
\(= 8,\forall n \ge 1\)
Suy ra (un) là cấp số cộng với công sai \(d = 8\)
Dãy số (un) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} \)
\(= {\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 1 - ({n^2} + n + 1) \)
\( = {n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1 - {n^2} - n - 1 \)
\(= 2n + 2\)
\(= 2\left( {n + 1} \right)\) không là hằng số
Vậy (un) không là cấp số cộng.
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1}}{{{n^2} + n + 1}} \)
\(= \frac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 1 + 1}}{{{n^2} + n + 1}}\)
\( = {{{n^2} + 3n + 3} \over {{n^2} + n + 1}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.
Cách giải thích khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = {1^2} + 1 + 1 = 3\\{u_2} = {2^2} + 2 + 1 = 7\\{u_3} = {3^2} + 3 + 1 = 13\\ \Rightarrow {u_2} - {u_1} = 4 \ne 6 = {u_3} - {u_2}\end{array}\)
Do đó dãy không là CSC.
Lại có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{7}{3} \ne \frac{{13}}{7} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)
Do đó dãy không là CSN.
Dãy số (un) với \({u_n} = {3.8^n}\)
Lời giải chi tiết:
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{3.8}^{n + 1}}} \over {{{3.8}^n}}} = 8,\forall n \ge 1.\)
Do đó (un) là cấp số nhân với công bội \(q = 8\).
Dãy số (un) với \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)
Lời giải chi tiết:
\({u_{n + 1}} - {u_n}\)
\(= \left( {n + 3} \right){.3^{n + 1}} - \left( {n + 2} \right){3^n} \)
\(= {3^n}\left( {3n + 9 - n - 2} \right) = \left( {2n + 7} \right){3^n}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số cộng.
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{\left( {n + 3} \right){{.3}^{n + 1}}} \over {\left( {n + 2} \right){{.3}^n}}} = {{3n + 9} \over {n + 2}}\) không là hằng số nên (un) không là cấp số nhân.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{u_1} = \left( {1 + 2} \right){.3^1} = 9\\{u_2} = \left( {2 + 2} \right){.3^2} = 36\\{u_3} = \left( {3 + 2} \right){.3^3} = 135\\ \Rightarrow {u_2} - {u_1} = 27 \ne 99 = {u_3} - {u_2}\end{array}\)
Do đó dãy không là CSC.
Lại có: \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{36}}{9} = 4 \ne \frac{{135}}{{36}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)
Do đó dãy không là CSN.
Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Tập xác định của hàm số là R (tất cả các số thực).
Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Tính đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, nên x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, nên x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến:
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số.
Khi giải bài toán này, cần lưu ý một số điểm sau:
Việc giải quyết bài toán về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, vật lý. Ví dụ, trong kinh tế, việc khảo sát hàm số chi phí có thể giúp doanh nghiệp tối ưu hóa chi phí sản xuất. Trong kỹ thuật, việc khảo sát hàm số mô tả chuyển động của vật thể có thể giúp thiết kế các hệ thống điều khiển chính xác.
Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và các lưu ý quan trọng sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán tương tự và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
