Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và AC, N là điểm trên cạnh BD sao cho BN = 2ND. Gọi F là giao điểm của AD và mp(MNK). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và AC, N là điểm trên cạnh BD sao cho BN = 2ND. Gọi F là giao điểm của AD và mp(MNK). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A. AF = FD B. AF = 2FD
C. AF = 3FD D. FD = 2AF
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định giao điểm \(I\) (tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng \((KMN)\) mà cắt với \(AD\).
- Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), chứng minh \(D\) là trung điểm của \(CI\).
- Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Trong mp\(\left( {BCD} \right)\), gọi \(I = MN \cap CD\) \( \Rightarrow I \in CD \subset \left( {ACD} \right)\).
Trong mp\(\left( {ACD} \right)\), gọi \(F = KI \cap AD\) \( \Rightarrow F \in AD,F \in KI \subset \left( {KMN} \right)\).
Vậy \(F = AD \cap \left( {KMN} \right)\).
Kẻ DL // BC (L ϵ MI)
\({{DL} \over {BM}} = {{DN} \over {BN}} = {1 \over 2} \Rightarrow DL = {1 \over 2}BM\) \(\Rightarrow DL = {1 \over 2}CM\) (do \(BM=CM\)).
Mà \(DL//CM \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{CI}} = \dfrac{{DL}}{{CM}} = \dfrac{1}{2}\)
⇒ D là trung điểm CI.
Từ đó suy ra F là trọng tâm ΔACI nên AF = 2FD.
Chọn (B)
Bài tập 7 trang 79 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học lớp 11, tập trung vào việc củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ, phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và đặc biệt là các tính chất của vectơ trong các hình bình hành, hình thang, và các hình đa giác khác.
Thông thường, bài toán 7 trang 79 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ, xác định vị trí tương đối của các điểm, hoặc tính độ dài của một đoạn thẳng dựa trên các vectơ đã cho. Bài toán có thể liên quan đến các hình hình học cơ bản như tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hoặc các hình phức tạp hơn.
Để giải quyết bài toán này, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = (1/2)overrightarrow{AB} + vectoring{AD}
Vì M là trung điểm của BC, ta có: vectoring{BM} = vectoring{MC} = (1/2)overrightarrow{BC}.
Mà vectoring{BC} = vectoring{AD} (do ABCD là hình bình hành).
Do đó, vectoring{BM} = (1/2)overrightarrow{AD}.
Ta có: vectoring{AM} = vectoring{AB} + vectoring{BM} = vectoring{AB} + (1/2)overrightarrow{AD}.
Vậy, vectoring{AM} = (1/2)overrightarrow{AB} + vectoring{AD} (đpcm).
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán, chúng ta có thể xét một ví dụ cụ thể. Giả sử A(0;0), B(2;0), C(3;1), D(1;1). Khi đó, M là trung điểm của BC, nên M có tọa độ ((2+3)/2; (0+1)/2) = (2.5; 0.5).
Ta có: vectoring{AB} = (2-0; 0-0) = (2;0), vectoring{AD} = (1-0; 1-0) = (1;1), vectoring{AM} = (2.5-0; 0.5-0) = (2.5; 0.5).
Kiểm tra lại đẳng thức: (1/2)overrightarrow{AB} + vectoring{AD} = (1/2)(2;0) + (1;1) = (1;0) + (1;1) = (2;1). Có vẻ có sai sót trong ví dụ này. Cần kiểm tra lại tọa độ điểm và tính toán.
Khi giải các bài toán về vectơ, học sinh cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ví dụ:
Câu 7 trang 79 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ và ứng dụng của chúng trong hình học. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
