Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\)
a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.
e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).
Lời giải chi tiết
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.
SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK
(EK là đường cao của tam giác SEF).
\(EK = {{EF.SH} \over {SF}} = {{a.{{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)
c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\)
d.
Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC1 ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC1 và song song với BD. Kí hiệu H1 là giao điểm của AC1 và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1, trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1.
Ta có: BD ⊥ (SAC), B1D1 // BD
Nên B1D1 ⊥ (SAC), suy ra B1D1 ⊥ AC1.
Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)
\(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H1 là trọng tâm tam giác SAC)
Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over 3}a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC1 cắt AC1 tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).
Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).
\(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\)
\(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)
Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ < \alpha < 90^\circ .\)
Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học không gian, cụ thể là phần liên quan đến vectơ, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải vận dụng các kiến thức về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các tính chất của vectơ để tìm ra lời giải chính xác.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về một hình chóp hoặc một hình đa diện nào đó, cùng với các điểm, đường thẳng, mặt phẳng liên quan. Yêu cầu của bài toán có thể là chứng minh một quan hệ song song, vuông góc, tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng hoặc hai mặt phẳng, hoặc xác định giao điểm của các đường thẳng, mặt phẳng.
Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán này, tùy thuộc vào từng dạng bài cụ thể. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P). Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú ý phân tích kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán, sau đó lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Trong quá trình giải bài tập, nếu gặp khó khăn, bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết tại giaitoan.edu.vn. Chúng tôi luôn cập nhật những lời giải mới nhất, chính xác nhất, giúp bạn học tập hiệu quả hơn. Đừng ngần ngại đặt câu hỏi nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào.
| Công Thức | Mô Tả |
|---|---|
| Tích vô hướng: | a.b = |a||b|cos(θ) |
| Tích có hướng: | [a,b] = |a||b|sin(θ)n (n là vectơ pháp tuyến) |
| Phương trình mặt phẳng: | Ax + By + Cz + D = 0 |
Hy vọng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
