Logo Header
  1. Môn Toán
  2. Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có :

LG a

    Nếu \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

    Phương pháp giải:

    Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

    Lời giải chi tiết:

    Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :

    \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

    + Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

    Suy ra (1) đúng khi n = 1.

    + Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),

    Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :

    \({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\) 

    Thật vậy, ta có :

    \({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]' \)

    \( = \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!\frac{{ - \left( {{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left( {{x^{k + 1}}} \right)}^2}}} \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!.\frac{{\left( { - 1} \right).\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \) \( = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

    Vậy ta có đpcm.

    LG b

      Nếu \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)

      Lời giải chi tiết:

      Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :

      \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.

      Ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x;f"\left( x \right) = - \cos x;\)

      \(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

      + Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

      Suy ra (2) đúng khi n = 1

      + Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)

      Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

      \({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\) \(\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)

      Thật vậy, vì : 

      \(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x \\ \text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x\end{array}\)

      Vậy ta có đpcm.

      LG c

        Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)

        Lời giải chi tiết:

        Ta có: 

        \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax\end{array}\)

        Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)

        Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)

        Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) \) \(= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)

        Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\) 

        \(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax\end{array}\)

        Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.

        Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng tài liệu toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

        Giải chi tiết Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

        Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

        Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

        Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.

        Các bước giải chi tiết

        1. Bước 1: Tính đạo hàm cấp một (y') của hàm số. Đây là bước cơ bản nhất để bắt đầu giải bài toán. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số.
        2. Bước 2: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Sau đó, xét dấu đạo hàm cấp một để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
        3. Bước 3: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một, xác định khoảng đồng biến (y' > 0) và khoảng nghịch biến (y' < 0) của hàm số.
        4. Bước 4: Tìm cực trị và vẽ đồ thị (nếu yêu cầu). Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để xác định tọa độ của chúng. Sau đó, vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được.

        Ví dụ minh họa

        Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:

        • Bước 1: Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
        • Bước 2: Tìm cực trị: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2. Xét dấu y', ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
        • Bước 3: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
        • Bước 4: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.

        Lưu ý quan trọng

        Khi giải bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý các điểm sau:

        • Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
        • Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
        • Xét dấu đạo hàm cấp một một cách cẩn thận để xác định đúng loại cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.
        • Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, chú ý đến các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.

        Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

        Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

        • Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
        • Giải các bài toán tối ưu hóa.
        • Phân tích sự thay đổi của hàm số.

        Bài tập tương tự

        Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.

        Kết luận

        Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và thực hành thường xuyên, bạn có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt trong học tập.

        Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11