Giải Câu 36 Trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Cho hàm số

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4\) \( = - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)

Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập lý thuyết toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Giải chi tiết Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.

Phân tích đề bài và xác định yêu cầu

Trước khi bắt đầu giải, cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đạo hàm và khảo sát hàm số:

Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm bậc nhất y' và đạo hàm bậc hai y''.
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Sau đó, xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Khảo sát tính đơn điệu: Xét dấu đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là điểm uốn. Sau đó, xét dấu đạo hàm bậc hai để xác định điểm uốn.
Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin đã tìm được (tập xác định, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm uốn) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa (giả định hàm số cụ thể)

Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tính đạo hàm

y' = 3x² - 6x

y'' = 6x - 6

Bước 2: Tìm điểm cực trị

Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Xét dấu y':

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2

Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Bước 4: Tìm điểm uốn

Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1

Xét dấu y'':

x < 1: y'' < 0 (hàm số lõm xuống)
x > 1: y'' > 0 (hàm số lồi lên)

Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, y = 0

Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.
Hiểu rõ ý nghĩa của các khái niệm đạo hàm, cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm uốn.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số

Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích sự thay đổi của các đại lượng trong các bài toán vật lý, kinh tế.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn có thể tự tin giải quyết Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!