Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Hàm số
Đề bài
Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\)
Có liên tục trên \(\mathbb R\) không ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số tại x=-2 suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x ≠ -2\) do khi \(x ≠ -2\) thì hàm số là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên khoảng xác định.
Với \(x ≠ -2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}} \) \(= {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3 \)
\(f\left( { - 2} \right)=3=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) \)
Vậy hàm số f liên tục tại \(x = -2\), do đó f liên tục trên \(\mathbb R\).
Câu 60 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu chúng ta thực hiện các bước khảo sát hàm số như sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x^3 - 3x^2 + 2
Hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = R.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: f'(x) = 3x^2 - 6x
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 2. Đây là các điểm cực trị của hàm số.
Ta xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định:
x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Dựa vào các thông tin đã phân tích, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Đồ thị hàm số sẽ có dạng đường cong đi qua các điểm cực trị và thể hiện khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, bạn cần lưu ý một số điểm sau:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 60 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình!
