Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Đưa các biểu thức sau về dạng Csin(x + α) :
\(\sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin x + \tan \frac{\pi }{7}\cos x\\ = \sin x + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}.\cos x\\ = \sin x + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}\cos x}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{{\sin x\cos \frac{\pi }{7} + \sin \frac{\pi }{7}\cos x}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{7}} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\end{array}\)
\( = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\sin \left( {x + \frac{\pi }{7}} \right)\)
\(\tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\tan \frac{\pi }{7}\sin x + \cos x\\ = \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}.\sin x + \cos x\\ = \frac{{\sin \frac{\pi }{7}\sin x}}{{\cos \frac{\pi }{7}}} + \cos x\\ = \frac{{\sin \frac{\pi }{7}\sin x + \cos x\cos \frac{\pi }{7}}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{{\cos \left( {x - \frac{\pi }{7}} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{7}}} = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{7} - x} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{7} + x} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{14}} + x} \right)}}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\\ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{7}}}\sin \left( {x + \frac{{5\pi }}{{14}}} \right)\end{array}\)
Câu 45 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần áp dụng các kiến thức và kỹ năng sau:
Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) là hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là R.
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
Tính đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
f''(2) = 6 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Câu 45 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
