Bài tập Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Giải các phương trình sau :
\(2{\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2.\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\end{array}\)
Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{ & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \cr &\Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = 1} \cr {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)} \cr } } \right. \cr &\Leftrightarrow x = k2\pi \cr} \)
Cách khác:
\({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \)
\(\eqalign{ & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr &\Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}\cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \cr &(Do\, 1+\sin x\ne 0)\cr & \Rightarrow 1 - {\cos ^2}x = \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right) - \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x - 1 + \sin x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = - 1} \cr {\tan x = 1} \cr } } \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \pi + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \)
\(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
\(\eqalign{ & {\mathop{\rm tanx}\nolimits} + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}\cr &\Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x - \sin 3x\cos 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = 0\cr &\Rightarrow \sin 3x - \sin 3x\cos 2x=0 \cr &\Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\cos 2x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\sin x = 0} \cr } } \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = k\pi \end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow x = k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z \cr} \)
Bài tập Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các môn toán cao cấp hơn.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong trường hợp của Câu 6 trang 224, học sinh cần xác định hàm số, tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị, và cuối cùng là xác định khoảng đơn điệu của hàm số. Việc phân tích đề bài một cách cẩn thận sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót không đáng có.
Để giải quyết bài tập Câu 6 trang 224, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải bài tập đạo hàm sau:
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.)
Các bài tập về đạo hàm không chỉ quan trọng trong việc học toán mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc của một vật thể. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa lợi nhuận và chi phí. Trong kỹ thuật, đạo hàm được sử dụng để thiết kế các hệ thống và cấu trúc.
Để học tập hiệu quả môn Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, học sinh nên:
Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải bài tập và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn học.
