Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :
\(y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức dy=y'dx.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 2\tan 3x.\left( {\tan 3x} \right)'\) \( - \left( {3{x^2}} \right)'.\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3{x^2}}} \) \(= 2\tan 3x.\left( {3x} \right)'.\frac{1}{{{{\cos }^2}3x}}\) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right) \) \( = 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) \) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow dy = y'dx \cr &= \left[ {6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)} \right]dx \cr} \)
\(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & y' = \frac{{\left( {{{\cos }^2}2x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr & = \frac{{2\cos 2x.\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr &= {{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr &= {{ - \sin 4x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr & \Rightarrow dy = y'dx = - {{\sin4 x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}dx \cr} \)
Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng yêu cầu là bước quan trọng để giải quyết bài toán một cách chính xác.
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm sau:
Việc nắm vững phương pháp giải Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn về hàm số và đạo hàm trong các lớp học tiếp theo. Kỹ năng này cũng rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.
Câu 45 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bằng cách thực hiện các bước giải chi tiết và lưu ý các điểm quan trọng, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và nắm vững kiến thức về hàm số và đạo hàm.
