Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
a. Chứng minh rằng
Chứng minh rằng \({\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)'} = - {n \over {{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)' = - {{\left( {{x^n}} \right)'} \over {{x^{2n}}}} = {{ - n{x^{n - 1}}} \over {{x^{2n}}}} = - {n \over {{x^{n + 1}}}}\)
Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = {1 \over {{x^n}}}.\) Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left( {{x^{ - n}}} \right)' = - n{x^{ - n - 1}}\) (Theo a)
Nhận xét : Công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\))
Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề bài. Thông thường, bài toán sẽ cho một hàm số và yêu cầu tính đạo hàm của hàm số đó tại một điểm cụ thể, hoặc tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại một điểm. Ngoài ra, bài toán có thể yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số, hoặc các bài toán ứng dụng khác.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài toán yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1 tại điểm x = 0.
Bước 1: Xác định hàm số và điểm cần tính đạo hàm. Hàm số là f(x) = x2 + 2x + 1 và điểm cần tính đạo hàm là x = 0.
Bước 2: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số f(x) là f'(x) = 2x + 2.
Bước 3: Thay giá trị điểm vào đạo hàm. Thay x = 0 vào đạo hàm f'(x) = 2x + 2, ta được f'(0) = 2(0) + 2 = 2.
Bước 4: Kiểm tra lại kết quả. Kết quả đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1 tại điểm x = 0 là 2.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và thực hành giải nhiều bài tập khác nhau, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của hằng số | (c)' = 0 |
| Đạo hàm của x mũ n | (xn)' = nxn-1 |
| Đạo hàm của tổng | (u + v)' = u' + v' |
