Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Giải các phương trình sau :
\({\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\)
Phương pháp giải:
Hạ bậc giải phương trình, sử dụng công thức
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& {\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow {{1 + \cos 2x} \over 2} - {{3\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} = 0 \cr &\Leftrightarrow 1 + \cos 2x - 3 + 3\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow - 2 + 4\cos 2x = 0\cr&\Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \cr} \)
\({\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = \tan x + \cot x\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \tan x + \cot x\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2}\\ = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x\cot x\\ \ge 2\tan x\cot x + 2\tan x\cot x\\ = 2.1 + 2.1\\ = 4\\ \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình trở thành:
\(\eqalign{& {t^2} - t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = - 1\,\left( \text{loại} \right)} \cr {t = 2} \cr} } \right. \cr & t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2 \cr&\Leftrightarrow \tan x + {1 \over {\tan x}} = 2 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \cr} \)
\(\sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \sin x + {\sin ^2}{x \over 2} = 0,5 \cr & \Leftrightarrow \sin x + {{1 - \cos x} \over 2} = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow \sin x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\cr& \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2}\cos x \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{2}\cr&\Leftrightarrow \tan x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \cr&\text{ trong đó }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)
Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét kỹ đề bài Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Thông thường, bài toán sẽ cho một hàm số và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử hàm số được cho trong Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.
f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, cần lưu ý:
Việc giải quyết Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực như:
Câu 38 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các vấn đề liên quan đến đạo hàm.
