Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Chứng minh rằng :
Đề bài
Cho số thực \(x > -1\). Chứng minh rằng :
\({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\)
Như vậy, ta có (1) đúng khi \(n = 1\)
+) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\)
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Thật vậy, từ giả thiết \(x > -1\) nên \((1+x)>0\)
Theo giả thiết qui nạp, ta có : \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2)
Nhân hai vế của (2) với \((1+x)\) ta được:
\(\eqalign{& {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr & = 1 + x + kx + k{x^2}\cr&= 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \cr&\ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr} \)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, các bài toán dạng này sẽ yêu cầu học sinh:
Giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: y' = f'(x) = 3x2 - 6x.
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Ta xét dấu của y' trên các khoảng xác định:
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Giá trị cực đại tại x = 0 là: y(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2.
Giá trị cực tiểu tại x = 2 là: y(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có:
Để hiểu sâu hơn về cách giải các bài toán khảo sát hàm số, bạn có thể thực hành với các bài tập tương tự. Hãy thay đổi các hệ số trong hàm số và lặp lại các bước trên. Điều này sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, điều quan trọng là phải nắm vững các định nghĩa và tính chất của đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu. Ngoài ra, bạn cũng cần chú ý đến việc kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn như tối ưu hóa, mô hình hóa, và dự báo. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
Để tìm hiểu thêm về chương trình Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
