Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đồ thị hàm số và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Giải các phương trình sau :
\(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2\cos x + 1 = 0} \cr {\sin 2x - \cos 2x = 0} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cos x = - {1 \over 2}} \cr {\tan 2x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.,k \in\mathbb Z \cr} \)
\(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x\cr& \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin 5x \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{5x = x + {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {5x = {{3\pi } \over 4} - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over {16}} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 3}} \cr} ,k \in\mathbb Z} \right. \cr} \)
\({1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \(\sin4x ≠ 0\) (điều kiện này đã bao gồm \(\sin 2x ≠ 0\) và \(\cos2x ≠ 0\)).
Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với \(\sin4x\) :
\(\eqalign{& {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr& \Rightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1\cr& \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cr& \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x+\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}+k2\pi } \cr {2x +\frac{\pi }{4}= \pi-\frac{\pi }{4} + k2\pi } \cr} } \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Ta thấy : Nếu \(2x = k2π\) thì \(\sin2x = 0\); nếu \(2x = {\pi \over 2} + k2\pi \) thì \(\cos2x = 0\), nên các giá trị đó của \(x\) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(1 - \sin 2x \)
\(= {\cos ^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x \)
\(= {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)
ĐKXĐ : \(\sin2x ≠ 1\).
Với điều kiện đó, ta có:
\(\eqalign{& \sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr &\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr&\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}}\cr& \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - {1 \over {\cos x - \sin x}}} \right) = 0 \cr & +)\,\,\sin x + \cos x = 0\cr& \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \cr&\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \cr & +)\,\,{1 \over {\cos x - \sin x}} = 1 \cr&\Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, lớp 11. Bài toán này thường kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức đã học về hàm số bậc hai, đặc biệt là việc xác định các yếu tố của parabol (đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn) và vẽ đồ thị hàm số.
Thông thường, câu 42 trang 47 sẽ yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
Để giải quyết hiệu quả câu 42 trang 47, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài toán: Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol y = 2x2 - 8x + 5.
Giải:
Khi vẽ đồ thị hàm số bậc hai, cần xác định chính xác các yếu tố của parabol (đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm, đường chuẩn) và một vài điểm thuộc đồ thị để đảm bảo tính chính xác. Ngoài ra, cần chú ý đến hệ số a để xác định chiều mở của parabol (lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0).
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về hàm số bậc hai. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong các kỳ thi.
| Yếu Tố | Công Thức |
|---|---|
| Đỉnh | I( -b/2a ; (4ac - b2)/4a ) |
| Trục đối xứng | x = -b/2a |
| Tiêu điểm | F( -b/2a ; (4ac - b2 + 1)/4a ) |
