Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho dãy số (un) xác định bởi
Đề bài
Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)
Chứng minh rằng
\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp
+) chỉ ra đẳng thức đúng với n = 1: \({u_1} = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\)
+) Giả sử đẳng thức đúng đến n=k, chứng minh n=k+1 đẳng thức vẫn đúng.
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\). Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng đến \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là: \(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} \)
\( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)
Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, lớp 11. Bài toán này thường liên quan đến việc xét tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, hoặc giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, và các phương pháp xét dấu đạo hàm.
Trước khi bắt đầu giải bài toán, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Xác định rõ hàm số cần xét, khoảng xác định của hàm số, và các yêu cầu cụ thể của bài toán (ví dụ: tìm cực trị, xét tính đơn điệu, giải phương trình, bất phương trình).
Đạo hàm của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán này. Tính đạo hàm của hàm số, sau đó xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Nếu bài toán yêu cầu tìm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị, sau đó xét dấu đạo hàm để xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu).
Có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán này, tùy thuộc vào dạng bài toán cụ thể. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
Giả sử câu 45 yêu cầu tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Khi giải bài tập, cần chú ý các điểm sau:
Các bài toán về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong kinh tế, kỹ thuật, vật lý. Chúng giúp ta tối ưu hóa các quá trình, tìm ra các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, hoặc xác định các điểm cực trị của các đối tượng trong thực tế.
Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng các phương pháp giải quyết bài toán một cách linh hoạt, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
