Giải Câu 52 Trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Tính vi phân của hàm số

Đề bài

Tính vi phân của hàm số \(y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\) tại điểm \(x = {\pi \over 6}\) ứng với \(\Delta x = {\pi \over {360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao 1

Sử dụng công thức \(df\left( x \right) = f'\left( x \right)\Delta x\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x \) \(= {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}\)

Suy ra: \(df\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi \over 6}} \right)}^3}}} \) \( = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}\) \(\approx - 0,0059\)

Chinh phục Toán 11, mở rộng cánh cửa Đại học trong tầm tay! Khám phá ngay Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Đề thi Toán lớp 11 trên nền tảng soạn toán. Bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội!

Câu 52 Trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích Chi Tiết và Lời Giải

Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I, lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm bậc nhất và bậc hai, là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.

I. Đề Bài Câu 52 Trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Để đảm bảo tính chính xác, chúng ta cần xem lại đề bài gốc. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số.)

II. Phương Pháp Giải

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất (y'): Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0: Giải phương trình y' = 0 để tìm ra các giá trị x mà tại đó hàm số có thể đạt cực trị.
Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất: Xác định dấu của y' trong các khoảng xác định bởi các điểm cực trị để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tính đạo hàm bậc hai (y''): Đạo hàm bậc hai sẽ giúp chúng ta xác định loại cực trị (cực đại hay cực tiểu).
Xác định loại cực trị: Nếu y'' > 0 tại một điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu. Nếu y'' < 0, đó là điểm cực đại.
Kết luận: Viết kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

III. Lời Giải Chi Tiết

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

y = x³ - 3x² + 2

y' = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

=> x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất

Xét các khoảng:

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Bước 4: Tính đạo hàm bậc hai

y' = 3x² - 6x

y'' = 6x - 6

Bước 5: Xác định loại cực trị

Tại x = 0: y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2: y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 6: Kết luận

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 có:

Điểm cực đại tại x = 0, y_max = 2
Điểm cực tiểu tại x = 2, y_min = -2

IV. Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Khảo Sát Hàm Số

Khi giải các bài toán khảo sát hàm số, cần chú ý:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Tính toán đạo hàm chính xác.
Khảo sát dấu của đạo hàm một cách cẩn thận để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị.