Phương trình bậc hai một ẩn là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 9 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải phương trình bậc hai là nền tảng quan trọng để học tốt các kiến thức toán học ở các lớp trên.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn, kèm theo các bài tập vận dụng đa dạng để giúp bạn hiểu sâu và nắm vững kiến thức.
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\), trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\), trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\). |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) là phương trình bậc hai với \(a = 2;b = - 3;c = 1\).
Phương trình \({x^2} - 3 = 0\) là phương trình bậc hai với \(a = 1,b = 0,c = - 3\).
Phương trình \(0{x^2} - 2x - 3 = 0\) không là phương trình bậc hai vì \(a = 0\).
2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt
Giải phương trình bậc hai khuyết số hạng tự do (dạng \(a{x^2} + bx = 0\)\(\left( {a \ne 0,c = 0} \right)\))
Để giải phương trình bậc hai dạng \(a{x^2} + bx = 0\), ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích. \(\begin{array}{l}a{x^2} + bx = 0\\x\left( {ax + b} \right) = 0\end{array}\) \(x = 0\) hoặc \(ax + b = 0\) Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = - \frac{b}{a}\). |
Ví dụ: Giải phương trình \(2{x^2} - 4x = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{x^2} - 4x = 0\\2x\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\)
\(x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{x_2} = 2\).
Giải phương trình bậc hai khuyết số hạng bậc nhất (dạng \(a{x^2} + c = 0\)\(\left( {a \ne 0,b = 0} \right)\))
Để giải phương trình bậc hai dạng \(a{x^2} + c = 0\), ta sử dụng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương: \(\begin{array}{l}a{x^2} + c = 0\\{x^2} = - \frac{c}{a}\end{array}\) +) Với \( - \frac{c}{a} < 0\) thì phương trình vô nghiệm. +) Với \( - \frac{c}{a} = 0\) thì \(x = 0\). +) Với \( - \frac{c}{a} > 0\) thì \(x = \sqrt { - \frac{c}{a}} \) hoặc \(x = - \sqrt { - \frac{c}{a}} \). |
Ví dụ: 1. Giải phương trình \({x^2} - 9 = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\{x^2} = 9\end{array}\)
\(x = 3\) hoặc \(x = - 3\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 3,{x_2} = - 3\).
2. Giải phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\)
Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3\)
\(x + 1 = \sqrt 3 \) hoặc \(x + 1 = - \sqrt 3 \)
\(x = - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \(x = - 1 - \sqrt 3 \)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 1 + \sqrt 3 ,{x_2} = - 1 - \sqrt 3 \).
Giải phương trình bậc hai dạng \({x^2} + bx = c\)
Để giải phương trình bậc hai dạng \({x^2} + bx = c\), ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó ta có thể giải phương trình đã cho. |
Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - 4x = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x = 5\\{x^2} - 4x + 4 = 5 + 4\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 9\end{array}\)
\(x - 2 = 3\) hoặc \(x - 2 = - 3\)
suy ra \(x = 5\) hoặc \(x = - 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 5,{x_2} = - 1\).
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\). - Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - 7x - 8 = 0\).
Ta có: \(a = 1,b = - 7,c = - 8\).
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 8} \right) = 81 > 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {81} }}{{2.1}} = 8;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {81} }}{{2.1}} = - 1\).
Chú ý: Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a và c trái dấu, tức là \(ac < 0\), thì \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Phương trình \({x^2} + 3572x - 3573 = 0\) có \(a = 1 > 0,c = - 3573 < 0\), suy ra a và c trái dấu.
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), với \(b = 2b'\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\). - Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\). - Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\). - Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Ví dụ: Giải phương trình \(7{x^2} - 12x + 5 = 0\).
Ta có: \(a = 7,b' = - 6,c = 5\).
\(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 7.5 = 1 > 0\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + 1}}{7} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - 1}}{7} = \frac{5}{7}\).
3. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dạng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai.
Bước 1. Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU).
Đối với máy Fx-570VN PLUS, ta bấm phím MODE rồi bấm phím 5 rồi bấm phím 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.
Đối với máy Fx-580VNX, ta bấm MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).
Bấm phím 2 để chọn Polynomial Degree
Cuối cùng, bấm phím 2 để giải phương trình bậc hai
Bước 2. Ta nhập các hệ số \(a,b,c\) bằng cách bấm
Đối với phương trình bậc hai có nghiệm kép, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:
Đối với phương trình bậc hai vô nghiệm, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng tổng quát: ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Đây là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 9, Kết nối tri thức, đóng vai trò nền tảng cho việc học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Để hiểu rõ về phương trình bậc hai một ẩn, chúng ta cần nắm vững các thành phần cấu tạo của nó:
Ví dụ: Trong phương trình 2x² - 5x + 3 = 0, ta có a = 2, b = -5, c = 3.
Ngoài dạng tổng quát, phương trình bậc hai còn có một số dạng đặc biệt:
Để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sử dụng định lý về nghiệm dựa trên giá trị của delta (Δ), được tính bằng công thức:
Δ = b² - 4ac
Dựa vào giá trị của Δ, ta có các trường hợp sau:
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 là:
x = (-b ± √Δ) / 2a, với Δ = b² - 4ac
Phương trình bậc hai có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn, hãy cùng giải một số bài tập sau:
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ nắm vững lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn Toán 9 Kết nối tri thức và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tập tốt!
