Bài 9.46 trang 111 SGK Toán 8 tập 2 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng kiến thức về hình học, cụ thể là các tính chất của hình thang cân. Bài tập này thường yêu cầu học sinh chứng minh một tính chất hoặc tính toán độ dài đoạn thẳng.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 9.46 trang 111 SGK Toán 8 tập 2, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{B{\rm{D}}}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}\), từ đó suy ra \(A{\rm{E}} = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\)
b) ΔDFC ∽ ΔABC
c) DF=DB
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh
Lời giải chi tiết
a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) suy ra \(DB.AC = DC.AB(*)\)
Ta có: \(B{{D}}.\left( {AB + AC} \right)\)\( = B{{D}}.AB + B{{D}}.AC\)
\(\begin{array}{l} = DB.AB + DC.AB\\ = AB.\left( {DB + DC} \right) = AB.BC\end{array}\)
Do đó \(B{{D}}.\left( {AB + AC} \right) = AB.BC\) suy ra \(\frac{{B{{D}}}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}(1)\)
Xét \(\Delta CE{{D}}\) và \(\Delta CAB\) có:
\(\widehat C\,chung\)
\(\widehat A = \widehat E\)
nên $\Delta CE{D}\backsim \Delta CAB$ (g.g)
Suy ra \(\frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{C{{D}}}}{{CB}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{AC - A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{BC - B{{D}}}}{{BC}}\\1 - \frac{{A{{E}}}}{{AC}} = 1 - \frac{{DB}}{{BC}}\\\frac{{A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{BC}}(2)\end{array}\)
Từ (1), (2) suy ra: \(\frac{{A{{E}}}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AB + AC}}\) nên \(A{{E}} = \frac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\)
b) Xét \(\Delta DFC\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat {FDC} = \widehat {BAC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat C\,chung\)
suy ra $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$. (g.g)
c) Từ $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$ suy ra \(\frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\)
nên \(DF = \frac{{AB.DC}}{{AC}}(3)\)
Từ (*) ta có: \(DB = \frac{{DC.AB}}{{AC}}(4)\)
Từ (3), (4) suy ra: DF = DB
Bài 9.46 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta chứng minh một tính chất liên quan đến hình thang cân. Để giải bài này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hình thang cân, bao gồm:
Đề bài: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EA = EB.
Lời giải:
Xét tam giác EAB và tam giác EDC:
Do đó, tam giác EAB đồng dạng với tam giác EDC (g-g).
Suy ra: EA/ED = EB/EC = AB/CD
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC. Do đó, ED = EA + AD và EC = EB + BC. Thay AD = BC vào, ta có ED = EA + BC và EC = EB + BC.
Từ EA/ED = EB/EC, ta suy ra EA/(EA + BC) = EB/(EB + BC). Giải phương trình này, ta được EA = EB.
Kết luận: Vậy, EA = EB.
Để hiểu sâu hơn về bài toán này, các em có thể thử giải các bài tập tương tự, ví dụ:
Lưu ý: Khi giải các bài tập về hình thang cân, các em cần vẽ hình chính xác và sử dụng các tính chất của hình thang cân một cách linh hoạt. Việc nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.
Kiến thức về hình thang cân có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như kiến trúc, xây dựng, và thiết kế. Ví dụ, hình thang cân có thể được sử dụng để thiết kế mái nhà, cầu, hoặc các công trình xây dựng khác.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài 9.46 trang 111 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong việc giải các bài tập toán học.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức. Chúc các em học tập tốt!
