Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về phép cộng và phép trừ phân thức đại số lớp 8, chương trình Kết nối tri thức.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về cách thực hiện các phép toán này, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Cộng hai phân thức cùng mẫu như thế nào?
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu
Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: \(\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A + B}}{M}\)
Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{{x - y}}{{xy}} = \frac{{x + y + x - y}}{{xy}} = \frac{{2x}}{{xy}} = \frac{2}{y}\\\frac{x}{{x + 3}} + \frac{{2 - x}}{{x + 3}} = \frac{{x + 2 - x}}{{x + 3}} = \frac{2}{{x + 3}}\end{array}\)
2. Cộng hai phân thức cùng khác mẫu
Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
3. Trừ hai phân thức
Quy tắc:
- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau: \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{{ - C}}{D}\)
4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số
Biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó.
Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}; \\\left( {\frac{A}{B} + \frac{C}{D}} \right) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + \left( {\frac{C}{D} + \frac{E}{F}} \right)\), trong đó \(\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}\) là các phân thức bất kì.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x + y}} + \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{y}{{x + y}} \\= \frac{{x(x - y)}}{{(x + y)(x - y)}} + \frac{{2xy}}{{(x + y)(x - y)}} - \frac{{y(x - y)}}{{(x + y)(x - y)}}\\ = \frac{{{x^2} - xy + 2xy - xy + {y^2}}}{{(x + y)(x - y)}} \\= \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\end{array}\)
5. Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc
- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.
- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.
Phân thức đại số là một khái niệm quan trọng trong đại số, và việc nắm vững các phép toán trên phân thức là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phép cộng và phép trừ phân thức đại số theo chương trình SGK Toán 8 - Kết nối tri thức.
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A là đa thức được gọi là tử số, và B là đa thức khác 0 được gọi là mẫu số.
Phân thức A/B xác định khi và chỉ khi mẫu số B khác 0. Điều này rất quan trọng cần lưu ý khi thực hiện các phép toán trên phân thức.
Để cộng hai phân thức đại số có cùng mẫu số, ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
A/B + C/B = (A + C)/B
Để cộng hai phân thức đại số có mẫu số khác nhau, ta cần quy đồng mẫu số trước khi cộng. Quy đồng mẫu số là tìm một mẫu số chung của hai phân thức, sau đó biến đổi các phân thức về dạng có cùng mẫu số đó.
Để trừ hai phân thức đại số có cùng mẫu số, ta trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số:
A/B - C/B = (A - C)/B
Tương tự như phép cộng, để trừ hai phân thức đại số có mẫu số khác nhau, ta cần quy đồng mẫu số trước khi trừ.
Để quy đồng mẫu số của hai phân thức A/B và C/D, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Quy đồng mẫu số của 1/2x và 1/3y
MSC của 2x và 3y là 6xy.
1/2x = 3y/6xy và 1/3y = 2x/6xy
Ví dụ 1: Tính x/2y + 3x/2y
Vì hai phân thức có cùng mẫu số, ta cộng các tử số:
x/2y + 3x/2y = (x + 3x)/2y = 4x/2y = 2x/y
Ví dụ 2: Tính 1/x + 1/y
Quy đồng mẫu số: MSC là xy.
1/x = y/xy và 1/y = x/xy
1/x + 1/y = y/xy + x/xy = (x + y)/xy
Luôn kiểm tra điều kiện xác định của phân thức trước khi thực hiện các phép toán. Việc bỏ qua điều kiện xác định có thể dẫn đến kết quả sai.
Khi quy đồng mẫu số, hãy chọn MSC nhỏ nhất để đơn giản hóa các phép tính.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết phép cộng và phép trừ phân thức đại số lớp 8 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
